카오스 제어 99회

기계공학에서의 비선형 특성 XIII

이 글에서는 기계공학에서의 비선형 특성으로서 진동에 의한 충격 발진 중 흡입 분기 이론을 중심으로 설명한다.

소개

진동-충격 시스템들의 연구에서 자유 궤적들도 아니고 충격 운동도 아닌 임계적인 궤도들을 만날 수 있다. 예를 들어 영 속도에서 하나의 장벽에 도달하는 발진 질량의 궤적은 비충격 발진과 충격 발진이라 불리는 2개의 영역으로 분리된다. 단지 장벽에서 2개의 영 속도와 관련된 분기는 접선 분기(grazing bifurcation)에 기준하여 발생한다. 접선 충격 분기의 특별한 관심은 그것의 매핑(mapping)이다.
이번 글에서는 접선 분기와 불연속 매핑의 기본적인 개념을 설명한다. 이것은 또한 경계들의 하나와 충돌하거나 교차할 수 있는 고정점 또는 주기 궤도를 설명하고, 이러한 형태는 경계-충돌과 C-분기에 기준된다. 이 분기는 Feigin에 의해 원래 분석됐다.

흡입 분기

흡입 분기 이론은 동적 시스템의 수에 의해 동기화되는 것으로 알려져 있다. 예를 들면 먼-바다 구조의 계류용 밧줄 타워의 진동-충격과 연관된 이 분기는 Thompson과 Ghaffari, Thompson에 의해 수치적으로 연구됐다. 이들의 결과는 카오스에서의 결과인 주기 배증 분기의 무한 순차를 나타낸다.
Shaw와 Holmes는 하나의 측면 장벽을 가진 주기적으로 강제된 발진기의 동적 거동을 연구했다. 이들은 길고 초안정한 주기 발진의 과도의 복잡 순차에 의해 이어지는 주기-배증 분기를 나타내는 불연속 맵을 이용한 충격 동력학을 모델링했다. 흡입 분기는 연속과 불연속으로 분류될 수 있다. 연속 흡입 분기는 영 접촉 속도에서의 결과인 임계값 부분의 제어 파라미터의 낮은 변화로 인하여 다른 시스템 어트렉터들 사이의 연속 천이 발생에 의해 특성화된다.
흡입 접촉 이후의 이 영역의 동력학은 흡입 궤적에서 원래의 정상 상태 부근에 남아 있다. 한편, 불연속 흡입 분기들은 임계값 부근의 제어 파라미터 변화로 인하여 다른 시스템 어트렉터 사이의 점프 출현에 의해 특성화된다. 이 경우에 흡입 이전과 이후의 시스템 동력학 사이의 중요성이 존재한다. 연속과 불연속 흡인 분기들을 유도하는 조건들은 진동-충격 시스템에서 사전 흡입 주기 어트렉터의 경우에 대하여 개발됐다. 공동 차원 2차원 흡인 분기를 통한 분기 차원들이 몇몇 연구자들에 의해 연구됐다.

불연속 매핑

1. Nordmark 매핑
진동-충격 시스템의 연구는 Nordmark에 의해 소개된 불연속 매핑의 개념으로 정립됐다. 이들 매핑들은 흡입 접촉에서의 조건들로부터 오직 얻어진 이산 동적 시스템을 이용하여 부근-흡입 충격 동력학을 근사한다. 동적 시스템에서 불연속 매핑들은 구분 평활 벡터장에 의해 정의된다.
불연속 매핑의 개념은 Dankowicz에 의한 3차원 공간에서 2차원 충격 표면을 가진 2-주파수, 준주기 발진의 흡입 교차에 이어 발생하는 시스템 어트렉터의 특성 예측을 위한 방법론 구축을 위해 이용됐다. 이 연구는 상태 공간에서 하나의 표면을 다루는 공차원에서 이차적으로 접선이거나 교차하는 궤적들의 경우를 포함한다. 이것은 불연속 매핑들이 차수 까지 유사성이 동일함을 보여준다.
제곱근 항을 포함하는 특별한 형태를 보이는 매핑은 Nordmark, Fredriksson과 Nordmark에 의해 연구된 형태의 국부 포엔카레 매핑으로써 발생한다. 이들 매핑에 의해 특성화된 기계적 시스템들은 상태 공간에서 공동 차원 하나의 평활 표면의 형태에서 충격 출현에 대한 조건을 만족한다. 이들 시스템의 운동 방정식들은 또한 충격 표면을 약간 넘어서 평활하다. 더욱이 충격 표면이 도달할 때 새로운 상태에서 이 시스템을 취하는 평활 충격 법칙 매핑이 존재한다. 이 충격 법칙은 충격 속도가 0으로 접근함으로써 유사성 매핑이 된다.
식 (1)로 표현되는 그림 1과 같은 선형 발진기를 고려하자.

(1)

여기서 는 발진기 질량 의 위치, 는 제동비, 은 발진 비제동 자연 주파수, 는 여기 주파수, 은 여기 진폭이다. 식 (1)은 식( 2)와 같이 정리할 수 있다.

(2)

여기서 , , , ‘는 에 대응하는 미분을 나타낸다. 이 정수일 때 으로부터 까지의 매핑은 일정한 위상을 가진 평면 의 포엔카레 맵이며, 따라서 이것은 선형 Nordmark 맵의 자코비안 행렬로서 고윳값들에 대하여 동일한 집합을 가진다.

 일 때
 

  (3)

 일 때

  (4)

여기서 , 들은 시간 에서 계산된 위치-속도 공간에서의 변환된 좌표들, , 은 외부 여자의 진폭에 관계된 파라미터, 는 반발 계수이다.
파라미터 와 는 식 (2)의 시스템 방정식의 진성 특성을 의존하며, 제한 은 큰 제동 계수에 대응하며 은 0 분산에 대응한다.
식 (3)과 식 (4)가 을 제외하고 연속적으로 미분할 수 있기 때문에 항 은 자코비안 행렬이 비정측((singularity)이므로 제곱근 특이성 비정측에 의존한다.

2. 비충격 매핑
비충격 운동의 경우에 발진기는 장벽에 도달하지 못하므로 식 (5)와 같은 형태의 식 (2)의 일반해를 고려한다.

 을 제공하는
  (5)

여기서 는 정상 상태 응답, 과 들은 초기 조건으로부터 결정된 상수이며 는 식 (6)과 같이 정리된다.

(6)

에 대하여 응답 상태벡터는 식 (7)과 같이 쓸 수 있다.

(7)

에 대하여 식 (7)은 식 (8)과 같은 형태를 취한다.

(8)

식 (8)에서 몇몇 처리 과정과 대입 과정을 거치면 식 (9)와 같은 행렬 관계식을 얻는다.

(9)

식 (9)를 이용하여 식 (3) 행렬 방정식의 자코비안과 같은 고윳값을 식 (10)과 같이 얻는다.

(10)

식 (10)은 식 (11)과 같은 2개의 근을 가진다.

(11)

행렬 의 고윳값은 식 (12)와 같이 계산된다.

(12)

에 대해서 풀고 이들의 관계식을 정리하면 식 (13)~(15)와 같이 정리된다.

(13)

(14)

(15)

비충격 영역에서 맵은 선형이다. 그러나 충격 궤도는 제곱근의 비정측을 가진다. 흡입에 근접하면 충격 부근의 가속은 상수로서 생각할 수 있고 제곱근은 등가속을 가진 시스템에서 여행한 거리와 경과 시간 사이의 간단한 관계이다. 제곱근 비정측과 흡입 충격의 점 부근 위상 공간의 연관 극한 스트레칭은 매우 중요한 동력학을 이끈다. 진동 충격 발진기의 동적 거동에서 방사적인 변화는 시스템의 포엔카레 맵 미분의 불연속에서 그들의 원점으로 기인한다.

흡입 충격 사례

그림 1을 가지고 발진 질량은 변위가 에 도달할 때 장벽을 때린다. 일 때 충격이 발생하는 좌표축 이동 를 소개한다.
또한, 새로운 좌표 를 소개한다. 여기에는 궤도가 영 속도를 가지고 장벽에 도달할 때 강한 장벽을 흡입하는 주기 궤도가 존재한다.
흡입 접촉점에서 변위, 속도, 가속, 위상을 각각 , , , 라 놓자. 흡입점에서 , , 을 가진다. 일반성의 손실 없이 으로 놓자. 감소하는 의 방향에서 에 의해 정의된 표면이 되는 포엔카레 단면이 되는 것을 선택하는 것이 가능하다.
포엔카레 단면의 점으로부터 시작하고 1주기의 포엔카레 단면에서 끝나는 동력학의 흐름으로서 포엔카레 매핑 를 정의한다.
0의 강제 여기 하에서 위상 공간에서 발진기의 재차 해는 식 (16)과 같이 나타낸다.

(16)

식 (16)을 편리하게 표현하기 위하여 식 (17)을 도입한다.

(17)

만약 벽이 존재하지 않는다면 흡입 주기 궤도의 국부 안정도는 의 자코비안 고윳값에 의해 결정할 수 있다. 만약 모든 고윳값들이 단위 원의 외부에 있다면 의 고정점에 대응하는 것은 불안정하며 관련된 주기 궤도는 불안정한 리미트 사이클이다.

만약에 자코비안 고윳값이 모두가 단위 원 밖에 있다면 대응하는 해는 안장형(saddle type)의 불안정한 리미트 사이클이다. 이들 경우는 쌍곡선 고정점으로 알려진 것에 속한다. 이 해는 만약 고윳값이 하나 또는 그 이상이 단위 원 위에 놓여 있다면 비쌍곡선이다. 이러한 상태하에서 포엔카레 맵의 선형화는 궤도의 안정도를 결정하는 데 충분하지 않을 수 도 있다. 다른 말로 하면 장벽이 있을 때 흡입 주기 궤도의 안정도는 포엔카레 매핑이 모든 궤도들 부근에 직접적으로 적용할 수 없기 때문에 자코비안에 의해서 단독으로 결정된다.
충격 궤적은 포엔카레 단면과 교차하지 않지만, 점프는 단면을 넘어선다. 이러한 사실은 그림 2에 의해 검증되며 점 에서 궤적이 시작하고 점에서 속도 를 가지고 장벽에 흡입되며, 점 에서 속도 의 속도를 가지고 리바운드하며 마지막으로 에서 끝난다.

포엔카레 단면을 이용하기 위해 벽의 존재를 일시적으로 무시하고 점 에서 포엔카레 단면의 교차점까지 시간에서 궤도 방향을 확대하는 방법을 Xiaopeng Zhao가 제안했다. 명백하게 이 가상 교차점 (, )은 흡입 접촉점의 우변에 있다. 포엔카레 단면의 다음 가상 교점은 (, )이다. 만약 조건이면 포엔카레 단면을 직접적으로 적용할 수 없다. 그러나 가상 장벽은 제거되고 점 의 좌표인 (, )에서 포엔카레 교차점까지 시간에서 점 로부터 후방으로 궤적이 외삽된다. 명백하게 는 점 에 모이며, 따라서 좌표 (, )의 함수가 될 수 있다. 포엔카레 단면의 종속적인 가상 교차점은 를 (, )에 인가하여 식 (18), (19)와 같이 얻는다. 

(18)

(19)

흡입 부근의 궤적에 대하여, 점 , , , 들은 흡입점 에 매우 근접한다. 부터 까지의 흐름은 국부 동적 해석을 이용하여 풀 수 있다. 이 끝에서 상태 좌표 들 , , 들을 가진 점으로부터 시작하는 궤적과 짧은 시간 구간 를 고려한다. 시간 구간 끝에서 새로운 상태 변수들은 , , 들이다. 운동이 흡입점의 이웃에서 연구되었기 때문에 에서의 가속은 로 나타낸다. 다음과 같은 3개 영역에서의 흐름을 생각하자.

1) 에서 까지의 흐름 : 이 영역에서의 시간 구간을 이라 놓고 이라고 하자. 점에서의 상태 변수들은 점 의 항에서 식 (20)~(22)와 같이 표현할 수 있다.

(20)

(21)

(22)

이므로 은 식 (23)과 같이 쓸 수 있다.

(23)

2) 에서 로 점프 : 반발 법칙의 계수를 적용하여 점 에서 상태 변수는 식 (24)~(26)과 같이 쓸 수 있다.

(24)

(25)

(26)

3) 에서 까지의 흐름 : 이 영역에서 시간 구간을 라 놓자. 점에서 상태 변수들은 점에서의 항으로 식 (27)~(29)와 같이 쓸 수 있다.

(27)

(28)

(29)

이므로 가 된다. 이는 식 (30), (31)로 정리된다.

(30)

(31)

식 (30), (31)을 식 (18)과 식 (19)에 대입하면 일 때, 흡입 충격에 대한 매핑 방정식을 식 (32), (33)과 같이 만들어낸다.

(32)

(33)

식 (32), (33)은 물리적 좌표에서 매핑을 나타낸다. Nordmark에 의해 유도한 것과 유사한 가장 간단한 형태로 표현하기 위해서 식 (34)와 식 (35)와 같은 좌표 변환을 유도한다.

(34)

(35)

여기서 상수 , , 들은 식 (34), (35)를 식 (32)와 식 (33)의 제곱근 의 계수 매핑 방정식에 대입하여 계산하고 식 (32)에서 각각의 좌표 은 1이 되며, 식 (33)에서  계수의 동일 시간은 치환으로 삭제된다. 변환된 좌표에서 매핑 방정식의 제한 결과들은 식 (36), (37)과 같이 표시된다.

(36)

(37)

여기서 , 이다. 식 (36)과 식(37)에 도달하는 데 부과된 제한들은 계수 , , 에 대하여 식 (38)~(40)과 같이 요구한다.

(38)

(39)

(40)

Chin 등은 흡입 충격 을 통하여 을 증가시켜 분기 파라미터로서 식 (3)과 식 (4)에 의해 주어진 Nordmark 맵에 대한 분기 현상을 수치적으로 생성했다. 그림 3(a)와 그림 3(b)는 과 시스템 파라미터의 2개의 집합인 =(0.05, 0.65), (0.01, 0.25)에 대한 분기도를 보여주고 있다.

여기서는 3개의 분기 시나리오에 관해 설명하고 있다. 첫 번째는 0에서부터 값을 증가시켜 반대로 구성한 무한 주기를 추가하는 에 대한 안정한 1주기 궤도로부터의 분기를 나타낸다.
예를 들어 그림 3(a)는 주기 거동의 연속적인 윈도우 사이의 대역에서 카오스 현상이 나타나고 있음을 보여주고 있다. 그림 3(b)는 히스테리시스를 가진 현상을 나타내고 있다. 다른 2개 경우의 분기도는 여기에서는 보여주고 있지 않다. 두 번째 경우는 0에서 을 증가시켜 카오스 어트렉터에서 에서 안정한 1주기 궤도로부터 분기에 의해 특성화된 경우이다. 

Molenaar 매핑

Molenaar과 De Weger은 Nordmark 매핑의 수정을 소개했다. 이들은 식 (41)과 같은 형태의 비선형과 길이 해석을 이용하여 분기 파라미터 의 값을 얻었다. 

(41)

여기서 는 여기 진폭 가 흡입 충격의 값 에 접근해 갈 때 발진기의 특별한 해의 가속이다. Molenaar는 식 (4)의 제곱근으로 진행하고 부족 제동 발진기에 대하여 1주기 최대 주기 궤도를 막는 고정 음수 부호를 관측했다. 이들의 비선형 해석은 식 (42), (43)과 같은 변환된 맵으로 수정된 형태를 만들어 낸다.

 일 때

    (42)

 일 때 

(43)

여기서
 
 

이다. (44)

식 (3), (4)에 의해 주어진 방정식과 식 (42), (43)에 의해 주어진 2개의 맵 사이의 중요한 차이점을 우리는 찾을 수 있다. 예를 들어 계수 으로 진행하는 음의 부호는 최대 1주기 궤도가 존재함을 보증한다. 식 (43)의 첫 번째 방정식에서 나머지 항 은 추가적인 충격으로 인하여 최대 주기 궤도의 안정도 손실을 이해하는 정량성을 제공하며 Nordmark와는 계수 가 다르다.
유연 장벽의 경우에 대하여 충격 질량은 탄성 변형의 형태에서 장벽을 침투하게 될 것이다. 이 경우에 반발 계수는  내에 있어야만 한다. 낮은 속도 충격에 대하여 이 장벽은 에너지를 흡수할 때 시스템 동력학에 영향을 주게 될 것이며, 의 값에 의해 측정된다. 이 경우에 대하여 Molenaar는 매핑 방정식 (43)과 동일하게 구해지며 식 (45)와 같은 계수들을 가진다.

(45)

이 상황은 그림 4에서 보여주는 선형 발진기와 같이 강성 계수 의 유연 장벽을 가진 선형 발진기의 연구에서 고려한다. 이 시스템의 운동 방정식은 식 (46)과 같이 쓸 수 있다.

(46)

여기서 , , , , 은 질량과 유연 장벽 사이의 갭 길이, , , 장벽의 강성은 의 비에 의해 측정되며, 강성 장벽은 를 가진다.
식 (46)은 충격들 사이의 해석적 해들을 이용하여 충격 흡수의 존재하에서 수치적으로 구한다. 그림 5(a), 그림 5(b)는 각각 강성비 , 의 두 가지 다른 값들의 분기도를 보여준다. 

두 가지 경우에서 주기 3으로부터 주기 1까지의 천이와 제곱근 맵에 대한 일반적인 내용이 관측됐다. 순응 장벽을 가진 충격에 대한 맵이 강성 장벽에 대하여 생성한 것과 유사하다는 결론을 얻는다. 다른 연구에서 De Weger은 그림 4(b)에서 보여주는 것과 같이 정현파 여기 에 의해 여기된 빔 모델 위의 실험 연구를 수행했다. 이들은 그림 6에서 보여주는 것과 같이 에서 10까지 주기를 가진 비충격 상태로부터 최대 주기 궤도까지 추가 천이 을 측정했다.

이 빔의 자유 발진의 측정된 주기는 , 제동 파라미터는 이다. 명백한 히스테리시스가 불규칙적으로 변화하는 것을 볼 수 있다.
천이 는 에 대하여 그림 7에서 보여주는 분기도에서 점프 특성이 있음을 확인 할 수 있다.

이것은 1차적인 충격으로 즉각 진행하는 전환점에서 발생한 추가적인 충격을 보고했다. 이러한 전환점은 장벽에 근접한다. 분기에서 이들 두 충격 사이의 운동은 현저한 변화를 경험한다. 불연속 매핑의 항에서 De Weger은 제곱근은 부드러운 장벽을 가진 부드러운 충격에서 또한 살아남는다는 것을 명시적으로 보여줬다. 이것은 반발 계수 의 항에서 불연속에 대한 필수적으로 허용한다. 그러나 부드러운 장벽을 가지고 완전하게 탄성적으로 부드러운 충돌에 대하여 제곱근은 0으로 줄어들며 충돌은 다시 복원이 어렵게 되는 것이 필요하다.
충격을 가진 구분-평활 동적 시스템에서 분기와 카오스들은 방사 캠의 특성화된 캠-팔로워(cam follower) 시스템을 이용하여 실험적으로 검증됐다. 캠 회전 속도의 변화 아래서 팔로워는 캠으로부터 분리됨이 관측된 후 많은 충격과 채터링에 의해 특성화된 주기 충격 거동을 나타낸다.

배영철  전남대학교 공과대학 전기공학과 교수(ycbae@chonnam.ac.kr)