카오스 제어 95회
기계공학에서의 비선형 특성 Ⅸ

이 글에서는 지난 호에 이어 측면 출렁거림의 제동에 관하여 Franklin T. Dodge[1]이 발표한 “The New Dynamic behavior of liquids in moving containers(이동 컨테이너에서의 액체의 새로운 동적 거동)”을 중심으로 설명한다.

소개

제동이란 단어는 에너지가 실제 액체의 출렁거림에 의해 항상 소산한다는 사실을 기술한다. 에너지 소산은 점성 경계층의 결과로서 벽면과 자유 표면에서 그리고 점성 응력의 결과로서 액체 내부에서 발생한다. 작은 탱크는 경계층 소산이 지배하는 반면 큰 탱크는 액체 내부에서의 소산이 보다 큰 역할을 한다.
정지탱크의 액체의 자유 발진에 대하여는 에너지 입력이 없으며 에너지 소산으로 인하여 연속적인 출렁거림 발진의 진폭은 감소한다. 이 감소는 식 (1)과 같이 정의되는 로그 감소에 에 의해 나타낸다.



여기서 는 발진의 최대 진폭, 는 1사이클 이후 발진의 최대 진폭이다.
이것은 또한  관계에 의해 정의된 제동 비율 에 의한 제동이거나 또는 의 100배인 임계 제동의 비율에 따른 제동으로 특성화되는 것이 공통이다. 선형 시스템에 있어서 제동비는 발진의 1사이클에 대하여 열 속으로 소산된 기계적 에너지의 부분으로 식 (2)와 같이 계산될 수 있다.



여기서 는 발진 주파수, 는 에너지 소산비의 시간 평균이다. 식 (1)은 실험을 해석하기 위한 유용한 방법이며 식 (2)는 유체 동적 해석으로부터 제동을 계산하기 위한 유용한 방법이다.
제동이 포함될 때 지난 호까지 설명했던 해석적 모델들은 힘 주파수 가 공진 주파수 에 근접할 때 파형 진폭, 힘, 토크들이 불명확하게 크게 되는 것을 더 이상 예측하지 못한다. 제동을 포함하기 위하여 보통의 절차는 분리 해석에 의해 제동을 결정하거나, 점성 액체에서 다시 동작하는 유체 동력학 해석 대신에 선형 진동 시스템에서 유사성에 의해 점성이 없는 관계에서 시험하거나 제동을 삽입한다. 예를 들어 식 (3)과 같이 주어지는 직사각형 탱크에서 이러한 절차로 비점성력을 예측하면 식 (4)와 같다.



  여기서 은 차 모드의 제동비이다. 이 표현의 실제 부분은 실제적인 힘이다. 이 힘은 현재 일 때 무한하게 크지 않다.

출렁거림 제동 실험

출렁거림 제동은 일반적으로 스케일 모델 탱크(scale model tanks)를 사용함에 의해 실험적으로 결정한다. 다음에 설명하는 몇 개의 다른 실험 방법들이 사용될 수 있다.

1. 파동 진폭 붕괴
이 방법에서 탱크는 공진주파수가 정상 상태에 도달할 때까지 발진하며 그 이후 발진은 빠르게 멈춘다. 몇 개의 편리한 위치에서 자유표면 변위의 붕괴율이 측정된다. 연속 파형 높이의 로그 붕괴는 식 (1)로부터 계산된다. 이 방법은 다른 모드들이 일반적으로 기본 모드보다 빠르게 붕괴하며 이후 기본 모드는 파형 형상을 지배하기 때문에 기본 출렁거림 모드에 대해서 오직 사용할 수 있다.

2. 출렁거림 힘 진폭 응답
이 방법에 대하여 탱크 위에 가해진 힘의 진폭은 모달 공진 주파수 부근의 주파수 범위를 넘어서는 여기 주파수 의 함수로서 로드 셀(load cell)에 의해 측정되거나 또는 다른 방법으로 파형 진폭이 측정될 수 있다. 그림 1에서 보여주는 것과 같이 힘 또는 파형 진폭은 에 대하여 그려진다. 그림 1에서는 식(5)의 관계에 의해 제동을 계산하는 데 반-전력 대역폭 기법[2]이 사용되었다.

 



여기서 는 힘 또는 파형 진폭이 최대 진폭의 배와 같은 2개의 여기 주파수들의 차이이다.

3. 앵커 힘 붕괴
이 방법은 파형 진폭 붕괴법의 변화이다. 이 탱크는 로드 셀에 부착되어 있고 힘의 붕괴는 탱크 운동이 빠르게 멈춘 후에 측정된다.

4. 주의
변화하는 실험 기법에 따라 계산된 제동 인자 사이의 관계는 파형운동이 선형이 아닌 한 쉽게 결정되지 않으며 선형인 경우에는 필수적으로 동일한 대답이 주어진다. 외견상의 제동이 탱크가 여기되는 방향과 힘이 측정되는 방향에 의존될 수 있으므로 탱크에서 출렁거림 제동을 측정할 때 탱크가 축 대칭이 아니면 특히 주의해야 하며 이 기법이 제동을 측정하기 위해 사용되었다.

다양한 탱크 형상에 대한 점성 제동

반-출렁거림 소자를 포함하지 않는 탱크에서의 출렁거림은 점성 응력에 의해 제동된다. 원리에서 응력이 이론적으로 결정될지라도 모든 유용한 결과의 대부분은 실험적으로 얻어졌다. 여기서는 다양한 실험 결과들을 설명한다. 모든 제동 상관관계는 기본적인 출렁거림 모드를 가지고 다닌다.
제동이 오직 점성효과에 기인하므로 차원이 없는 해석은 이것이 탱크 형상, 채워진 레벨 그리고 식 (6)과 같은 역 레이놀드 수(inverse Reynolds number)와 유사한 차원이 없는 파라미터의 함수임을 보여준다.



여기서 는 액체의 운동 점성, 은 지름과 같은 탱크의 특성 차원이다.
식 (6)에서 주어진 의 첫 번째 형태는 대부분 상관관계에서 사용하는 것으로 이것은 출렁거림 속도 특성이 이라고 가정한다. 가속 가 의 분모에 나타나기 때문에 이것을 채택한 상관관계는 일 때 낮은 중력 조건에 대하여는 유용하지 않다. 의 특성 속도를 사용하는 두 번째 형태의 는 높은 중력 조건과 낮은 중력 조건들에 적용 가능하므로 낮은 중력 출렁거림 제동 상관관계에 사용된다.
유용한 제동 상관의 많은 것들이 스케일-모델 시험으로부터 유도되었다. 만약 모델의 크기와 의 전체 크기의 값들이 같다면 작은 탱크의 시험들은 정확하게 큰 탱크의 제동 계수들을 거의 복제한다. 그러나 일반적으로 모델 의 작은 값으로 인하여 모델 크기 은 전체 크기 보다 크다. 만약 실험실과 전체 크기   모두가 충분하게 작다면 제동 값들은 비교할 수 있게 될 것이다.
한편 경계층과 체적 액체 점성 소산의 상대적인 분포는 달라질 것이다. 이러한 이유로 스케일-모델-유도된 상관관계들이 전체 크기에서 추정될 때 약간의 오차가 존재할 수 있다.

1. 순환 원통형 탱크
순환 원통형 탱크들은 우주선과 발사용 로켓에서 주로 사용되므로, 이들은 많은 연구의 주제가 되어왔다.
제동을 측정하기 위해 사용한 다른 방법의 결과로서 이들 연구로부터 상관관계 사이의 작은 차이가 존재한다. 이러한 차이에 관한 완전한 연구의 두 가지 사례를 여기에서 설명한다. MIKISHEV, G. N.와 DOROZHKIN, N. Y.[3]는 그들의 실험으로부터 식 (7)과 같은 상관관계식을 제안했다.



탱크 반경 은  파라미터의 정의에서 특성 차원으로서 사용되고 는 액체 깊이이다. 에 대하여 식 (7)의 상관관계는 식 (8)과 같이 간략화된다.



이와 유사하면서 확장되지만, 독립적인 연구가 STEPHENS, D. G., LEONARD, H. W., PERRY, T. W.[4]에 의해 연구되었으며 식 (9)와 같은 약간 다른 상관관계를 얻었다.



액체 깊이가 클 때 식 (9)는 식 (10)과 같이 간략화된다.



식 (7)과 식 (9) 또는 식 (8)과 식 (10) 사이의 실제 수치적 차이는 매우 작다.

2. 선형 출렁거림 제한
다양한 출렁거림 진폭 시험에 의해 벽면에서 출렁거림 진폭이 0.1보다 크지 않는 한 상관관계 가정으로서 제동이 파형 진폭에 독립적임을 찾았다.

3. 배수 효과(draining effects)
탱크로부터 액체가 배수될 때 출렁거림 제동은 약간 증가한다[5].

원통형 탱크- 구형 돔

구형 하부를 가진 원통형 탱크에 대하여 액체 레벨이 돔 안이나 위에 약간 있을 때 제동은 현저하게 증가한다. 이 제동은 식 (7)의 제동 상관관계에 대하여 그림 2에서 보여주는 상관관계 인자의 적용에 식 (11)과 같이 계산될 수 있다.



구형 탱크

구형 탱크에 대한 출렁거림 제동은 실험적으로 1960년대 초반에 연구되었다[3,6,7]. 액체 깊이에 의존하는 추천된 상관관계는 식 (12)와 (13)에 의해서 주어진다.



여기에는 제동 측정을 위해 다른 방법을 사용하였기 때문에 이들 연구와 원통형 탱크와의 연구들 사이에 불일치가 존재한다. 그림 3은 식 (12)와 (13)의 그림을 보여준다.
이 제동은 탱크가 반 정도 채워진 탱크에 대하여 최소이다. 파형 운동에 참여한 액체 운동이 점성 에너지 소산이 행한 것보다 거의 비어있거나 완전히 채워진 것보다 보다 빠르게 감소하기 때문에 즉, 출렁거림 질량의 운동 에너지에서 에너지 소산의 비에 비례하는 식 (2)로부터 제동 계수가 크게 되기 때문에 계수제동은 거의 비워졌거나 거의 채워졌을 때 매우 크다.

기울어진 회전타원체 탱크

기울어진 회전타원체 탱크에 대한 출렁거림 제동은 측정되어 왔으며[7] 수평 지름과 수직 지름의 비가 1.33인 탱크에서의 결과를 그림 4에 나타내었다. 이 그림은 구의 제동에서 회전타원체 제동에 대한 비율을 보여준다. 따라서 그림 4와 식 (12), (13)은 탱크의 크기와 완전하게 채워진 레벨의 함수로서 계산된 제동을 허용한다.







수평 도넛형 탱크

도넛형 탱크는 몇몇 응용에서 형상의 장점을 가진다. 제동 결과의 제한된 양들은 1차와 2차 출렁거림 모드의 두 가지에 대하여 스케일-모델 크기 수평-도넛형 탱크에 대하여 유용하다[6]. 그림 5는 제동 상관관계를 보여준다.



이 시험에서 작은 반경은 6.35cm가 유지되고 작은 반경대 큰 반경의 비는 약 1.5~3.5 사이에서 변화되었다. 액체는 아세틸렌 테라브로마이드(acetylene tetrabromide, =0.033cm₂/sec)이다. 다른 액체에 대한 제동은 식 (6)에 의해 정의된 파라미터 을 이용해 이들 결과로부터 측정할 수 있다.

링 조절 장치에 의한 출렁거림 제동

점성 효과에 의해 독단적으로 원인이 된 제동은 탱크 지름이 1m 이하일 때 가 일반적으로 0.01과 같거나 작은 것을 가지고 상대적으로 큰 제동에 대해서도 완벽히 작다. 미사일 또는 우주선의 자세 제어 시스템은 일반적으로 안정한 비행을 위하여 가 0.01보다 클 것을 요구하고 있다.
결론적으로 제동 증가의 몇몇 방법들이 요구된다. 비대칭 탱크에 대하여 공통의 방법은 탱크 벽면에 링 조절기를 연속으로 부착하는 것이다.
이 조절기들은 자유 표면이 조절기들의 하나 부근일 때 현저한 제동 차수를 제공한다. 조절기 사이의 간격은 레벨 차가 있든 없든 관계없이 제동 요구를 넘어서는 최소 제동이 되도록 선택된다.
링 조절기는 탱크 벽면에 부착된 링 외부 가장자리를 가진 평판 링의 형상을 가진다. 링의 평면은 탱크 축에 수직이며 이는 공통 배열이거나 또는 기울기가 상승 또는 하강할 수 있다. 링의 내부 가장자리는 조절기의 유효성을 일반적으로 줄여주는 내부 가장자리의 형상이 줄어들지라도 구조적인 이유로 몇몇 분류의 가장자리를 가진다.

원통형 탱크에서의 링 조절기 제동 : 이론

링 조절기에 의해 제공된 제동은 평면 평판이 발진 흐름상에 소모한 항력에서의 유추에 의해 분석된다[9.10]. 그림 6에서 보여주는 것과 같이 액체는 기본적인 출렁거림 모드에서 발진한다고 가정하며 흐름의 방향은 링에 정상이라고 가정한다.



다른 가정은 선형화된 퍼텐셜 흐름 이동이 흐름과 출렁거림 주파수를 예측하는데 충분한 정밀성을 가지며 링 부근에서 국부 흐름은 자유 표면 또는 탱크 하부에 의해 영향을 받지 않는다는 것이다. 이 가정들은 조절기가 탱크 교차 면에서 낮은 비율을 차지하고 하부 표면 근처에는 없다는 것을 요구한다. 기계적 에너지와 에너지 소산 비율의 계산에 의해 식 (2)로부터 제동이 결정된다.

1. 기계적 에너지
식 (2)에 필요한 전체 출렁거림 기계적 에너지는 순간적인 운동 에너지와 위치 에너지의 합이지만, 전체 운동에너지의 최댓값과 같다.
운동 에너지는 속도 퍼텐셜로부터 계산될 수 있거나 출렁거림에 대한 등가 기계적 모델로부터 계산될 수 있다. 일반적인 출렁거림에 대한 스프링-질량 발진기이며 따라서 최대 운동 에너지는 식 (14)와 같이 표현된다.



여기서 는 발진기의 질량, 는 발진기의 최대 발진 진폭이다.
자유 표면이 상부 방향으로 병진 운동할 때 발진 질량은 이와 비례하여 수평적으로 병진운동 하므로 는 출렁거림 파형 진폭 와 선형적으로 관계되며 식 (15)와 같이 표현한다.



여기서 는 탱크 형상에 의존하는 수이다. 따라서 식 (14)는 식(16)과 같이 정리된다.



2. 에너지 소산
흐름에서 조절기를 지향하는 정상 상태에 대하여 에너지는 압력 항력에 의해 대부분 소산된다. 순간적인 항력은 (a) 액체 밀도 , (b) 평판 위치에서의 속도의 제곱, ( c ) 항력 계수인 와 (d) 평판 의 전체 면적 곱의 1/4과 같다.
순간적인 에너지 소산 비율은 속도와 항력의 곱이다. 그런 다음 순간적인 소산 에너지 비율은 하나의 출렁거림 사이클에 대하여 시간 평균을 해야 하며 식 (2)에서 사용한 탱크 환경 부근에서 공간적으로 평균을 취한다. 이 평균은 식 (17)과 같이 주어진다.



여기서 는 그림 6에서 보여준 것과 같이 조절기 위치에서의 액체 운동의 진폭이다. 액체 속도는 이다. 는 표면 아래의 깊이에 의존하는 함수에 의해 파형 높이 와 관련된다. 이 함수는 속도 퍼텐셜로부터 유도될 수 있으며 부호적으로 로 표현된다.
식 (17)에서의 인자 는 의 절댓값의 시간 평균 결과이다. 항 는 조절기 원주 부근의 출렁거림 파형 높이 체적의 절댓값의 공간 평균과 유사하다.
만약 탱크가 원통형이라면 변화 원주는 이며, 만약 조절기가 탱크 원주 부근의 모든 방향으로 확장된다면 이다. 그렇지 않으면 는 다른 수치를 가진다.

3. 일반 제동 계수
식 (16)과 식 (17)을 식 (2)에 놓으면 항력에 의해 에너지가 소산된 평판의 제동 계수 에 대한 일반 관계를 식 (18)과 같이 제공한다.



  여기서 는 출렁거림 주파수 또는 진폭에 독립적인 계수로서 이것은 제동 계수가 출렁거림 진폭에 비례함을 볼 수 있다. 그러나 일반적으로 는 상수가 아니며 발진 흐름의 특성에 의존한다.

4. 항력 계수
식 (18)에 필요한 발진 액체 흐름에서 항력 계수는 <20일 때 식 (19)와 같은 표현에 의해 관계된다[11].



여기서 는 평판의 폭이다. 는 발진 속도의 진폭, 는 발진의 주기이다. 식 (19)는 가 평판의 길이에 따라 변하지 않는 발진 흐름에서 평판의 시험으로부터 개발됐다. 그러나 탱크의 링 조절기에서 는 원주 주변에서 변화한다. 즉, 원주 변화는 유효 속도가 의 최대 속도의 반으로 적절한 가정에서 바이어스 에 대하여 계산 한다.
조절기에 의해서 차단된 면적 는 에 의해서 특성화된다. 여기서 는 탱크의 교차 면적, 은 탱크 교차 면적과 조절기 면적과의 비이다.

5. 링 조절기
이들 모든 관계가 식 (19)에 놓이게 될 때 원통형의 경우에서 링 조절기에 대한 제동 계수는 식 (20)으로써 예측된다.



특수한 경우에 대하여 액체 깊이 가 탱크 반경()일 경우에 식 (21)과 같은 값들이 식 (20)에서 사용될 수 있다.



식 (21)을 식 (20)에 넣고 항들을 조합하면 원통형 탱크에서 식 (22)을 얻는다.



식 (22)에서 지수 항은 조절기가 자유 표면 아래로 잠기는 깊이 를 가지고 가 감소함을 의미한다. 점성 제동과 대조하여 링 조절기에 의해 제공하는 제동은 비선형이다. 즉, 는 출렁거림의 진폭에 의존한다.
그림 7은 잠수 깊이 와 파형 진폭 의 함수로서 원통형 탱크에 대한 제동 측정의 결과인 식 (22)과 비교한 것이다. 이 데이터는 조절기 상의 힘, 탱크 구동을 위한 힘, 출렁거림 파형의 진폭, 출렁거림 파형의 붕괴, 탱크 앵커 힘의 붕괴와 같은 다양한 방법에 따라 얻어졌으며 다른 부호로 표시했다. 데이터에서의 산란은 기본적으로 다른 측정 기법의 결과이다. 조절기가 액체 표면 부근이 아닐 때, 이 이론은 시험하는 파형 높이의 범위를 넘어서는 시험 결과와 적절하게 비교 된다.

 

6. 링 조절기-자유 표면 효과 부근
조절기의 잠수 깊이가 출렁거림 진폭보다 작을 때 조절기는 출렁거림 사이클의 부분 동안 덮여 있지 않으며 제동은 일반적으로 식 (22)의 예측보다 작다. 특수 탱크 발진 진폭에 대한 조절기의 잠수 깊이의 함수와 출렁거림 공진과 같은 발진 주파수의 함수로서 액체 표면 부근의 조절기에 대하여 예측하고 측정한 제동 값들을 그림 8에 보여준다.
그림 8은 약간 잠수한 조절기들에 대하여 측정한 제동이 식 (22)에서 측정된 출렁거림 진폭을 이용하여 계산한 이론 예측보다 큼을 보여주는 한편, 액체 표면에서 대부분 조절기에 대하여 측정한 제동은 약간 예측보다 작다.



깊이에 의존하는 이러한 복잡한 제동은 부분적으로 제동이 커지는 출렁거림 파형의 튀김에 의해 원인이 되며, 액체 표면이 조절기에 교차될 때 출렁거림 자연 주파수의 변화에 의해 부분적으로 원인이 되거나 파형 사이클의 일부 또는 전부 기간의 조절기가 덮이지 않음에 의해 원인이 된다. 자유 표면 부근의 조절기에 대한 근사 보정은 유용하다[10]. 제동의 몇몇 최솟값이 요구되며, 이 최솟값은 조절기가 상대적으로 깊게 잠수 되었을 때 발생한다. 이에 따라 보정은 일반적으로 필요하지 않다.
더욱 중요한 사실은 링 조절기가 자유 표면보다 약간 위에 있을 경우조차 몇몇 제동을 제공할 수 있다는 것이다. 엄격하게 이 제동의 예측은 복잡한 문제이지만, 제동이 다음과 같은 간단한 절차에 의해 근사적으로 추정될 수 있다.
조절기의 거리가 출렁거림 진폭에 비해 같거나 길게 자유 표면에 있을 때 출렁거림 파형은 조절기와 교차하지 않으며 제동도 없다. 액체 레벨이 떨어짐으로써 완전한 조절기 제동이 접근된다.
자유 표면 위의 높이가 보존적으로 출렁거림 진폭 에 0.8배 일 때, 자유 표면 위에 있는 조절기에 대한 제동은 =0 값의 =0에 대하여 식 (22)에 의해 예측한 값으로부터 를 선형적으로 감소시킴에 의해 추정할 수 있다.

링 조절기-출렁거림 진폭의 설계 값

대부분 응용에서 우주선의 안정도 해석은 탱크에 채워진 레벨의 함수로서 제동에서 요구된 최솟값으로 지정한다. 링 조절기 시스템은 이들 요구에 부응하도록 설계되어야만 한다. 그렇지만 제동 는 출렁거림 진폭 에 의존하고 는 에 의존한다.
여기에서의 질문은 조절기 설계를 위해서 얼마의 값을 정해야 하는가? 이 질문에 대한 대답은 다양한 출렁거림 진폭이 가정된 고전적인 연구 속과 탱크 축에 따라 조절기의 분포와 폭들이 제동 요구를 만족하도록 하는 것에 있다. 그런 다음 최소 하중 값을 가지는 설계가 선택되어야 한다.
이와 같은 연구는 출렁거림 진폭이 증가할 때 조절기의 전체 하중이 감소한다는 것을 나타낸다. 따라서 가장 큰 출렁거림 진폭이 적절하게 가정될 수 있다는 전제의 비중을 줄여준다. 진폭이 탱크 지름의 10%를 초과할 때 현재 출렁거림 파형은 주목할 만하게 비선형 또는 튀거나 회전하도록 시작한다.
결론적으로 적정하게 가정할 수 있는 가장 큰 허용 가능한 출렁거림 진폭은 0.2이다. =0.2의 값을 가지고 식 (22)은 식 (23)와 같이 정리할 수 있다.



이 관계는 조절기 폭()과 지정한 최소 제동 요구에 부응시키기 위해 선택하는 조절기 간격을 허용한다. 그림 9는 이러한 설계의 개략적인 내용을 보여준다.
그림 9 왼쪽의 그림은 자유 표면 위치의 함수로서 예측한 제동을 보여준다. 조절기 간격은 자유 표면 위에 약간 올라간 조절기에 의해 제공한 제동에 대한 허용을 포함하고 있다. 그림 9에서 보는 것처럼 자유 표면이 조절기에 가깝게 약간 아래에 있을 때(=0.8) 최소 제동이 발생한다.



1. 링 제동-출렁거림 주파수 효과
자유 표면이 링 조절기 약간 위나 같은 위치에 있을 때 출렁거림 공진 주파수는 노출된 탱크로부터 변경되게 된다[13]. 조절기가 표면에 교차할 때 공진 주파수는 노출한 탱크의 값보다 15% 더 높게 올라갈 수 있다. 자유 표면이 조절기 위에 하나의 조절기 폭에 있을 때 노출된 탱크보다 10% 낮게 올라간다. 조절기가 조절기 폭보다 2배 또는 그 이상 잠길 때 공진 주파수는 조절기의 압력에 의해 영향을 받지 않는다. 그러나 자유 표면 부근에 조절기가 조절기 폭보다 1배 이상 잠길 때 최소 제동이 일반적으로 발생한다. 공진 주파수에서의 변화는 임의의 결론이 일반적이지 않는 이러한 조건에 충분하게 작다.

2. 링 조절기-구면과 회전 타원체 탱크
링 조절기들은 원통형보다는 구면과 같은 다른 탱크 형태에도 사용할 수 있다. 일반적인 이론인 식 (20)를 임의의 탱크 형태에 적용하며, 따라서 제동은 깊이 함수 와 출렁거림 질량을 탱크 형태에 지정하는 대체에 의해 예측할 수 있다. 더 간단히 적절한 추정은 실제 탱크에 대하여 조절기가 원통형 탱크와 동일한 액체 체적과 같은 등가 원통형-탱크 잠수 깊이 를 이용하여 원통형 탱크 결과로부터 얻을 수 있다. 탱크의 몇몇 종류에 대한 실험 데이터와 조절기 설계는 간단한 근사를 증명한다[14,15.16].

3. 링 조절기-조절기 유연성 효과
링 조절기들은 공통적으로 탄성 평판으로서 설계됐고, 이들은 출렁거림 부하의 활동에서 상대적으로 강성을 가진 강체이다. 강성을 가진 강체 조절기는 탱크 무게에서 중요한 비율을 나타낼 수 있다. 조절기 시스템의 제동 대 무게 효율은 조절기의 무게를 줄임에 의해 개선시킬 수 있지만, 이렇게 하는 것은 조절기의 두께가 줄어들게 되고 결론적으로 조절기가 유연하게 된다는 것을 의미한다. 따라서 유연한 조절기들은 몇몇 연구자들에 의해서 계산되었다[17,18].
그림 10에 이들 연구의 결과들을 요약하여 나타내었다. 이는 유연한 조절기의 측정된 제동이 동일한 면적의 유사한 강성을 가진 조절기에서 측정한 제동과 비교했다.



비교는 유연성 의 함수와 주기 파라미터 의 2개 파라미터의 함수를 이용했다. 주기 파라미터는 강성을 가진 링 조절기에서 이미 설명하였으며, 이는 조절기 폭에서 액체 운동의 진폭 비율이며 액체 깊이가 탱크 반경보다 큰 원통형 탱크에 대하여 식 (24)와 같이 정의한다.



유연성 파라미터는 주기 파라미터에 대하여 단위를 일치시키기 위해서 조절기 폭에서 조절기의 탄성 편향의 비율에 비례한다. 이는 식 (25)와 같이 정의한다.



여기서 E는 조절기 재료의 탄성률이며 b는 조절기의 두께이다. 조절기의 실제 유연성은 식 (25)가 막의 인장과 강성을 무시했기 때문에 식 (25)에 의해 예측한 것보다는 작을 것이다. 그러나 이것은 그림 10으로부터 와 가 조절기 설계의 변화의 상대적인 제동과 충분하게 상관관계에 있다.
그림 10에서 보여주듯이, 유연 조절기로부터의 제동은 강성을 가진 강체 조절기 제동보다 절대로 적지 않다는 결론을 얻는다. 조절기가 보다 유연하게 됨으로써( 증가) 상대적인 제동은 증가하고 주기 파라미터값에 의존하는 최댓값에 도달한다. 결론적으로 유연한 조절기들은 얻어진 조절기 효율에서 상당한 개선을 허용할 수 있다.

배영철 전남대학교 공과대학 전기공학과 교수(ycbae@chonnam.ac.kr)