카오스 제어 97회
기계공학에서의 비선형 특성 Ⅺ

이번 호에서는 측면 출렁거림 비선형 효과의 제동에 관하여 Franklin T. Dodge이 발표한 “The New Dynamic behavior of liquids in moving containers”(이동 컨테이너에서의 액체의 새로운 동적 거동)을 중심으로 설명한다.

소개
때때로 우주 작업에서 요구되는 모든 것들은 일부 기간 예상된 최대 파형 진폭을 추정한다. 예를 들어 조절장치 또는 탱크 칸막이에서 최대 출렁거림 부하를 추정하는 것이 이에 관한 사례이다. 상대적으로 이들 추정을 얻는 간단한 방법이 존재한다.
표면 장력을 무시할 때 자유 표면에서 액체 입자 위에 소모한 최대 하방 가속은 식 (1)과 같이 표시한다.

(1)

여기서 는 유효 중력 가속, 는 파형 진폭, 는 출렁거림 자연주파수이다.
언제나 최대 높이에서 최대 가속이 남아있는 양의 값을 가지기 때문에 최대 파형 높이는 식 (2)보다 더 크지는 않으며 일반적으로 탱크벽에서 최대가 발생한다.

(2)

예를 들어 탱크 지름보다 현저하게 큰 액체 깊이를 가진 원통형 탱크에 대하여 출렁거림 자연 주파수는 표시되므로 최대 파형 진폭은 보다 클 수 없거나 탱크 지름의 약 25%가 된다. 링 조절기 제동 결정에 사용할 수 있는 보다 우수한 추정은 최대 진폭이 탱크 지름의 약 10% 이상이 되지 않는다. 또한, 튀기는 출렁거림과 회전 출렁거림을 넘어서 발생하게 되며 출렁거림에서 추가적인 외형상 같은 제동을 추가하게 될 것이다. 

탱크 형상으로부터 떠오르는 비선형 효과

1. 칸막이를 가진 원통형 탱크
원통형 탱크에서 출렁거림의 초기 실험들은 이론과 일치하도록 공진 주파수를 만들었는데 이는 실패한 사례로서 칸막이로 나누었다. 측정된 공진 주파수는 언제나 예측한 이론 주파수보다 낮았다. 때때로 그림 1에서 보여주는 것과 같이 차이가 많이 나는 경우도 있다.



칸막이 탱크에 대한 여기 진폭에서 예상하지 못한 엄격한 요구들은 필수적으로 탱크 기하학으로 인한 것이다. 탱크 중심으로 향한 흐름의 연속성은 액체가 코너 속으로 압축되기 때문에 상대적으로 높은 중심에서 파형 진폭의 원인이 된다.
칸막이가 있는 탱크에 대한 다른 주목할 만한 발견은 하중을 줄이거나 제동을 늘리기 위해 사용한 칸막이벽들에 있는 구멍으로서 이는 공진 주파수에서 중요한 효과를 본다. 측면 여기 진폭 , 탱크 지름 , 구멍 지름 의 항으로 정의된 복합 레이놀드 수 는 약 10,000 이하였으며 실험의 자연 주파수들은 고체 벽면을 가진 개별 칸막이의 자연 주파수들에 대응되었다. 레이놀드 수가 10,000보다 클 때 실험 주파수는 동일한 지름과 액체 깊이의 칸막이가 없는 원통형 탱크의 낮은 주파수에 대응한다. 이 전이는 날카롭지 않으며 약간 큰 주파수들이 전이 부근에서 관측된다. 명백하게 레이놀드 수가 10,000보다 클 때 구멍들은 벽이 존재하지 않은 것과 같이 액체 출렁거림이 인접한 칸막이 속으로 왔다갔다하면서 크게 된다. 이 출렁거림 힘은 또한 비선형 특성을 나타낸다.

2. 구형 탱크
완전하게 채워진 레벨의 구형 탱크에서의 실험은 완전하게 채워진 레벨이 50%를 넘어설 때 공진 주파수가 비선형 특성이 있음을 보여준다. 이것은 다시 탱크 형상의 결과였으며 50% 이상 채워진 레벨에 대하여 출렁거림 파형의 상부의 반은 탱크 벽을 교차하며 아래 방향으로 곡선을 나타낸다. 감소하는 면적은 차단 파형을 촉진하는 파형에 유용하다. 그러나 구형 탱크에 대한 비선형성의 효과는 발표되지 않았으며 칸막이가 있는 원통형 탱크에 대해서만 발표됐다.

큰 진폭 운동

지난 호까지 설명한 탱크 형상으로부터 나온 결과인 임의의 비선형성들은 출렁거림 파형은 유한 진폭으로부터 나온 실제 비선형성을 가지는가에 대한 논란이 있을 수 있다. 이것이 의심할 여지 없이 사실이라고 할지라도 비선형 효과를 만들어 내기 위해 요구된 파형 진폭은 원통형이나 다른 공통 형상보다도 이들 탱크 형상에 대하여 현저하게 작다. 임의의 사건에서 파형 진폭이 비선형 효과의 원인이 되도록 충분하게 클 때 선형화된 이론은 유용하지 않다.
따라서 여기에서 선형 이론은 유한 파형 진폭을 포함하도록 확장된다. 이것은 아직까지 점성 효과들을 무시하는 것이 유용하므로 비선형 출렁거림 이론은 속도 퍼텐셜로부터 유도될 수 있다. 따라서 기본적인 미분 방정식은 여전히 선형이며 식 (3)과 같이 표현된다.

(3)

액체 속도들은 퍼텐셜의 공간 미분들에 의해 여전히 주어진다. 모든 비선형은 경계조건을 통하여 해석에 들어간다. 선형 이론에서는 이 조건들은 비분산 경계들에 의해 주어진다. 특별히 자유 표면 조건들은 자유 표면의 평형 위치에서 주어진다. 그러나 유한 파형 진폭을 고려했을 때 경계들의 실제 위치에서 경계 조건을 다루어야만 한다. 그림 2는 진폭 의 횡 발진에서 주된 직사각형 탱크 사례에 대한 선형과 비선형 경계 사이의 차이를 보여주고 있다. 

흐름 조건이 없는 것은 탱크 벽에 보인 조건에서 현재 나타난다. 자유 표면 조건들은 위치가 알려지지 않았거나 해의 일부분으로서 결정되어야만 할지라도 실제 자유 표면 위치 상에 부과된다.
다만, 선형 조건에서 탱크가 이동하지 않을 때의 사례에 대하여 해를 찾는 것을 시작하게 될 것이다. 더욱이 표면 장력 효과들은 무시될 것이며 유효 중력 는 탱크 축에 따라 아래 방향으로 이동한다고 가정한다. 이론을 개발하기 위하여 그림 2에서 보여주는 것과 유사한 직사각형 탱크에서 2차원 파형에 집중하게 될 것이다.
이들 가정을 가지고 우리는 방향의 속도와 방향의 속도만을 고려해야 한다. 탱크벽에서의 경계 조건들은 식 (4)와 같다.

 에 대하여 (4)

 에 대하여

간단하게 하기 위하여 물의 깊이는 탱크 폭보다 훨씬 크다고 가정한다. 따라서 탱크 하부에서의 흐르지 않는 조건은 로 감으로서 에 의해 대체된다.
이들 자유 표면에서 비선형 경계조건들은 선형 경계 조건보다 더 많이 복잡해진다. 앞서 자유 표면에 수직인 파형의 속도는 자유 표면에서 액체 속도와 호환성이 있어야만 한다. 그러나 이 시간의 이 조건은 평판 표면에는 적용하지 못하므로 액체 속도의 모든 성분을 포함해야 하며 비선형 경계 조건은 식 (5)와 같이 된다.

 에 대하여 (5)

이처럼 자유 표면에서의 압력은 가스 압력과 동일하게 만들어져야만 한다. 자유 표면에서 파형 운동과 압력과 관계되는 비선형 경계 조건은 식 (6)과 같다.

 에 대하여 (6)

이들 방정식은 연속 근사기법이라 불리는 섭동법에 따라 해를 구하게 될 것이다. 이 방법은 유동 방파제 위에 파동 부하를 계산하기 위한 노력의 하나로 2차 세계대전 중에 개발되었다.

1. 연속 근사해
이 예제에 대하여 우리는 2차원 대칭 파형을 고려하게 될 것이다. 동일한 방법이 우주선에서 일반적으로 가장 관심이 있는 비대칭 파형에 대하여 사용됐다. 식(4)을 만족하는 식(3)의 대칭 해는 식 (7)과 같이 주어진다.

(7)

이 표현에서 =0항은 베르노이 함수에서 임의의 시간 함수에 대응하며 이는 압력을 계산할 때 오직 필요하다. 식(7)을 식(6)에 대입하면 자유 표면에서의 방정식은 식(8)과 같이 찾아진다.

(8)

여기서 위의 점은 시간에 대응하는 미분을 나타낸다. 이러한 형태의 방정식은 항에서 에 대하여 풀 수 있는 관계를 함축하는 것으로 취급할 수 있다. 계수가 의 주기함수이므로 는 주기가 되어야 한다는 것이 뒤따르지만, 는 의 모든 실수 값에 대하여 실수라는 필요조건은 뒤따르지는 않는다. 따라서 연속 자유 표면의 존재를 보장하기 위해서 몇몇의 이론적 제한들은 계수들에 허용된 값에 부과되어야만 한다. 이 제한은 파형이 몇몇의 최대 진폭을 넘어서지 않는다는 것을 함축한다. 이들 조건이 만족한다고 가정하면 에 대하여 주기 해를 가정함에 의해 식 (8)을 식 (9)와 같이 풀 수 있다.

(9)

식 (9)에서 계수들은 식 (7)에서 계수의 항에서 계산되어야만 한다.

해의 대수를 통한 작업 이전에 에 의한 시간과 에 의한 길이를 나눔으로써 무차원 방정식이 완성될 것이다. 계수들의 무차원 형태는 에 의해 나타내고 은 에 의해 나타낸다.

해의 기법은 식(7)과 식(8)을 표면 경계 조건들 식 (5)와 식 (6) 속으로 무차원 형태로 치환함과 각 항을 곱하는 계수들의 보정에 의해 시작된다. 방정식의 왼쪽과 오른쪽 항의 각각의 계수는 다른 코사인 항을 다루는 것 없이 동일하게 분리되어야만 한다.
대수 처리는 코사인 곱에 대한 합 또는 차의 관계를 이용하거나 멱급수 속으로 지수항의 확장을 포함하거나 완전히 포함되어야만 한다. 각 코사인 항의 계수는 과 의 모든 함수이다. 만약 근사 과정이 수렴된다면 과 의 진폭은 이 증가함으로써 감속되어야만 한다.

결론적으로 각 코사인 항에서 항의 수는 항들의 몇몇 유한 수 이후에 잘리게 될 수 있다. 이점에서 과 은 차 출력에서 파형 진폭 파라미터 에 비례하여 최소로 감소하게 될 것이며, 우리는 이러한 가정이 보정된 이후 보게 될 것이다. ε의 5차 멱급수를 통한 모든 계수들이 유도되지만 동일한 과정이 보다 높은 차수 항을 유지하기 위하여 사용되게 된다.

식(6)의 경계조건은 궁극적으로 5차 항을 통하여 보정된 결합 상미분 방정식의 급수로 식 (10)과 식 (11)과 같이 구성한다.

(10)

(11a)

(11b)

(11c)

(11d)

(11e)

식 (10)은 오직 퍼텐셜에서 임의의 시간 함수를 계산하는 데 오직 필요하므로 여기에서는 더 이상 고려하지 않는다.
식 (5)의 경계 조건은 다음과 같은 미분 방정식을 만들어 낸다.

(12a)

(12b)

(12c)

(12d)

(12e)

2. 선형 근사
이들 방정식의 해를 결정하기 위하여 비선형 항을 폐기할 때 먼저 차수를 줄이는 것을 결정하게 될 것이다. 선형화된 방정식들은 미분에 의한 쌍으로 조합될 수 있다. 예를 들면 식(12a)과 식(11a)을 여기에 대입하면 다른 모든 쌍에 대해서 유사하게 얻어진다. 그 결과는 식(13)과 같다.

(13)

이 방정식의 해는 간단하게  또는 이다. 우리는 사인 해를 선택하게 될 것이다. 이 해들은 파형 진폭 의 첫 번째 차수 모드로서 보정한 결과이며 모든 진폭이 작게 만들어지고 파형 형상은 자연 모드의 하나로 접근한다는 것을 나타낸다. 한정적인 문제를 만들기 위하여 진폭 모드가 작게 만들어짐으로써 =1 모드로 비선형 해를 줄이는 것을 요구하게 될 것이다. 즉 모든 비선형 항들이 해에서 폐기될 때 우리는 이러한 문제를 풀기 원하며 파형은 식 (14)와 같은 발진이다.

(14)

여기서 △는 δ의 무차원 형태이다. 효과에서 이 과정은 과 을 제외하고 식 (11)과 식(12)의 모든 선형 해를 제거한다. 식 (13)의 도움을 가지고 방정식을 시험함에 의해 >1의 과 에 대한 방정식은 선형 항이 없는 것을 포함하지만, 오직 곱이 됨을 알았고 따라서 이 항들은 =1 파형 형상과 자연 주파수에 대하여 비선형 보정이다.

3. 2차 근사
연속적인 근사법에서 방정식의 2차 항을 포함할 때 해를 구한다. 여기서 과 이 앞에서와 같이 에 비례한다고 가정한다. 식 (11)과 식 (12)에서 2차 항이 유지될 때 방정식은 식 (15)과 같이 차수를 줄인다.

 과 (15a)

 과 (15b)

 에 대하여 (15c)

이들 방정식은 처음부터 원래의 선형 해 와 가 또한 과 에 대한 2차 해가 됨을 찾았다. 즉  또는 에서 2차 차수 보정은 없다. 를 제거하기 위하여 식 (15(b))를 조합하면 식 (16(a))와 같이 주어진다.

(16a)

과 에 대한 1차 해들이 식 (16)의 우변 항으로 치환할 때, 그 결과 동일하게 0이 됨을 찾았다. 그러므로 식 (16a)의 해는 이며, 이는 앞서 설명한 대로 진폭 이 작을 때 차수를 줄이지 못하기 때문에 삭제한 것이다.

따라서 2차계에서 =0이 되며 속도 퍼텐셜에서 2차 보정은 없게 된다. 그러나 파형 형상에서는 2차 보정이 존재한다. 식 (15b)로부터 식 (16)을 얻는다.

 또는     (16b)

>0이기 때문에 파형 형상에서 2차 보정이 존재한다. 방정식의 3차 집합인 식 (15c)는 해로 이 주어지지만 이 작을 때 원하는 해의 차수를 줄일 수 없기 때문에 이들은 삭제한다.

4. 3차 근사
2차 해를 원하는 방정식 우변으로 치환하고 3차를 통하여 항들을 유지하면 3차 해 들은 식 (17)과 같이 얻어짐을 알 수 있다.

 과          (17a)
 
 과 (17b)

 과 (17c)

 과 3 에 대하여 (17d)

방정식의 1차 집합 조합에 의해 식 (18a)을 얻는다.

(18a)

2차 해(즉, )는 이들 관계의 우변에서 3차 항을 평가하는 데 사용할 수 있다. 이 치환은 식 (18b)와 같이 주어진다.

(18b)

우리는 2차와 3차 항을 무시할 때 선형 해 를 줄여주는 에 대한 해를 찾길 원한다. 따라서 우리는 =+라고 가정한다. 여기서 는 3차 함수이며 는 고차 주파수 보정이다.

이 가정을 식 (18b)에 삽입하면 식 (18b)는 식 (18c)와 같이 주어진다.

(18c)

의 계수를 같게 놓으면 식 (19a)와 식 (19b)가 찾아진다.

 또는  (19a)

    (19b)

식 (17)의 다른 쌍의 해를 구할 때 이 없을지라도 >1에 3차에서 대하여 =0을 구한다. 결론적으로 속도 퍼텐셜에 있어서 3차 해는 식 (20)과 같이 정리된다.

(20)

3차를 통하여 파형 형상 보정에 대한 계수 은 식 (17a)로부터 얻을 수 있다. 이것은 자연 주파수 가 파형 진폭에 의존하는, 즉 파형 진폭이 증가함으로 자연 주파수는 감소하는 것을 나타내게 된다.

5. 고차 근사
계속되는 근사는 정확하게 동일한 과정을 통하여 얻어진다. 예를 들어 5차 근사에 대하여 파형 형상의 계수는 식 (21)과 같이 주어진다.

(21a)

(21b)

(21c)

(21d)

    (21e)

5차 파형 보정의 무차원 주파수는 식 (21f)와 같다

(21f)

이들 관계에서 고차 항들은 최소 만큼의 가정은 정확하지 않다는 것을 보여준다. 더욱이 식 (21)이 식 (9)의 무차원 형태 속으로 대입할 때 표면이 완벽하게 평면이므로 시간이 결코 존재하지 않는다는 것을 알았다. 일 때 발생하는 평면에 가장 가까운 상태는 에 의해 주어진다.
앞서 설명한 것과 같이 최대 상부 방향 진폭은 파형이 순간적으로 정지할 때 발생하며 정점의 하부 방향 가속은 중력 가속과 동일하다. 속도 퍼텐셜 대수를 통한 작업에 의해 5차 보정 값을 사용하여 의 짝수 정수와 =0.592의 최대 허용된 값에 대하여 에 대응하는 이 조건을 찾을 수 있다. 이 홀수 정수일 때 파형은 최대 하부 방향 편향을 가진다. 그림 3은 상부 방향과 하부 방향 파형을 보여 준다.

정점의 최대 무차원 높이는 0.055이다. 이는 무차원 파형 높이 λ=2π이므로 최대 파형 높이는 무차원 항에서 0.141λ에 대응되기 때문이다. 우리가 보는 것과 같이 상부 파형은 보다 평면인 하부 방향 형상보다 최대가 됨을 주목해야 한다. 사실 한계에서의 정점은 그림 3에서 보여주는 것과 같이 약간 둥근 것보다는 90도의 형상 각을 만든다. 최대 파형 형상은 실험 결과와 일치한다.



6. 탱크에서의 정지파
직사각형과 원형 교차 영역의 탱크에서 비선형 파형들은 유사한 섭동법에 따라 해석되었다. 이들 연구에서 하나의 관심 있는 발견은 직사각형 교차면 탱크에 대하여 액체 깊이가 낮을 때보다, 큰 깊이에 대하여 감소하는 것보다 파형 진폭을 가지고 증가한다. 이때 임계 깊이는 파형 길이보다 약 0.17배이다.

7. 강제 운동들
위에서 설명한 기본 이론들은 탱크의 강제 힘을 포함하여 확장해 왔다. 식 (21)에서 2배, 3배로 변하는 기본 주파수 항들의 발생으로 인하여 강제 운동 이론은 기본 주파수에서 운동뿐만 아니라 슈퍼하모닉 공진이 가능하다는 것을 검증한다.

회전 출렁거림

비대칭 탱크에서 회전 출렁거림은 등가 원추형 모델의 정지 점으로 부터 시작한다. 만약 탱크 측면 발진의 주파수가 자연 주파수에서 출렁거린다면 안정성을 잃어버리는 상부-하부 반대칭 파형 운동의 경향이 존재한다. 주파수가 출렁거림 자연 주파수보다 약간 작을 때 반대칭 파형의 노달 지름은 비정상 비율로 회전하기 시작한다. 이 불안정한 소용돌이 운동은 자연주파수보다 약간 높은 여기주파수에서 지속하며 여기서 비대칭 파형 모드는 다시 발생한다. 일정한 비율에서 안정하게 회전할 수 있는 노달 지름에서에서 자연 주파수보다 높고 큰 주파수 범위가 존재한다. 이와 같은 비선형 운동은 3차 항까지 연속 근사계에 의해서 해석됐다. 이 방법은 해의 안정도를 다루기 때문에 앞서 설명한 방법보다 약간 복잡하다. 여기에서 이 방법을 자세히 설명한다.
탱크 운동은 일반 퍼텐셜에서 탱크의 측면 운동에 적합한 속도 퍼텐셜을 추가하여 식 (22)와 같이 표현한다.

(22)

이 조합한 퍼텐셜은 탱크벽과 하부, 즉 에서 , 에서 의 동차 경계 조건을 만족하는 ø을 허용한다. 노달 라인이 회전할 때 파형 진폭은 cosθ뿐만아니라 sinθ를 가지고 파형 진폭이 변화하기 때문에 ø가 cosθ로 변화하는 가정을 만들 수 없다는 것을 주목해야 한다.

앞에서 연속 근사 해에서 ±차 항의 진폭은 차 출력에서 파형 출력 파라미터에 비례하도록 취한다. 이 사실은 식 (23)에 의해 주어진 단일 경계 조건 속으로 속도 퍼텐셜의 3차에서 보정하는 식 (5)와 식 (6)의 2개의 자유 표면 조건을 조합하는 것을 사용한다.

(23)

, , 들은 퍼텐셜의 복잡한 함수이다. 예들 들면 , 는 식 (24)와 같이 주어진다.

(24a)

(24b)

여기서 첨자들은 좌표에 대응하는 미분을 나타낸다. 이 함수 는 ø에서 3번째 출력과 ø의 두 번째 출력의 곱 또는 미분, 을 가진 미분 모두의 항으로 구성된다. 이들 방정식의 다양한 해는 에 의해 주어진 탱크 운동에서 얻었다. 

식 (23)의 비선형 연속 근사 해를 찾는 것은 주목할 만한 양의 통찰력이 요구된다. 이 해는 진폭 파라미터 에서 멱급수로서 ø의 표현에 의해 시작한다.

(25)

>1에 대한 와 함수들은 식 (3)의 해이다. 특별히 과 은 식 (26)과 같이 기본적인 선형 비대칭 파형을 표현한다.

(26)

>1에 대한 과 함수는 고차 대칭과 비대칭 파형 해의 합을 포함한다. 이들 함수는 식 (24)에 대입되며, 이 식들은 푸리에 급수와 , 등 항들의 계수 보정의 확장에 의해 풀이된다. 이 과정은 일반화된 좌표들 , , , 에서 1차 결합 비선형 미분 방정식의 집합을 만들어 낸다. 정상 상태 고조파 해들은 , , , 을 포함하는 오직 4개의 방정식을 고려함에 의해 얻어진다. 정상 상태는 미분 , 등의 모든 미분이 0일 때 발생한다. 여기에는 2개의 해가 존재한다. 첫 번째 해는 여기 주파수에 의존하는 진폭 을 가진 기본 비대칭파에 대응하는 평면해로서 진폭의 근은 식 (27a)와 같이 표현된다. 

(27a)

여기서 과 들은 탱크 형상과 채워진 레벨에 의존하는 상수이다. 다른 계수 , , 들은 이 해들에 대해서 0이다. 식 (27a)에서 파라미터 ν는 기본 비대칭 출렁거림 파형의 선형 자연 주파수 , 여기 주파수 , 파형 진폭 파라미터 항으로 식 (27b)와 같이 정의된다.

(27b)

식(27b)의 유사성은 식(19b)에 의해 주어지는 비강제 정지 파형의 자연 주파수에 대응하는 것과 유사함을 주목해야 한다.
노달 선 파형에서 비평면 운동에 대응하는 방정식의 두 번째 해는 탱크 축 주변을 회전한다. 이 운동은 식 (27c)의 근인 2개의 0이 아닌 일반화된 좌표 과 을 가진다.

(27c)

여기서 , , 는 탱크 형상과 채워진 레벨에 의존한다. 2개의 다른 일반화된 좌표 , 은 0이다. 이 비평면 운동에 있어서 퍼텐셜의 항이 존재하며 식 (25)는 항과 항으로서 변화한다. 이 항들은 탱크 축 부근을 회전하는 노달 라인으로 기술한다. 평면과 비평면 운동 모두에 대해서 파라미터 ν는 어떻게 근접한 여기 주파수가 자연 주파수에 있는지를 지정한다.
탱크 지름의 특정한 값과 채워진 레벨에 대한 주파수 파라미터 ν의 함수로서 2개의 정상 상태 고조파 운동의 진폭 그림을 그림 4에서 보여주고 있다.



일반적인 평면 파형 운동은 자연 주파수 부근에서 중심인 작은 주파수 대역 부근을 제외하고 임의의 여기 주파수에 대하여 발생할 수 있다. 이 배제된 대역폭은 탱크 여기 진폭 에 의존하며 이 작을 때 배제된 주파수의 실제 범위는 매우 작다. 비평면 회전 운동은 자연 주파수 약간 아래에서 시작하고 자연 주파수 위에서 현저하게 확장하는 연속적인 주파수 범위에 대하여 발생할 수 있다. 평면과 비평면 모두의 안정한 해를 가진 주파수 범위에서 발생할 수 있으며 관측된 운동은 초기 조건에 의존한다. 몇몇 미리 존재하는 소용돌이 또는 자유 표면의 평면 밖의 기울기는 비평면 운동을 발생시키기 위하여 요구되며 따라서 정상 평면 운동은 일반적으로 실험에서 관측된다.

고조파 운동의 두 가지 형태의 운동, 즉 불안정한 상태의 주파수 범위를 그림 4에 나타내었다. 이들 영역에서 가장 중요한 점은 여기 주파수가 안정한 평면 운동에 대하여 단지 낮은 범위 위에 존재하고 안정한 비평면 운동에 대하여는 단지 낮은 범위 아래에 존재한다는 것이다. 이 범위에 있어서 관측된 운동은 비대칭 파형이며 이는 노달 라인의 회전 발진을 가진다. 불안정한 이들 영역은 정상 상태 진폭 과 에 대응하는 작은 외란  중첩에 의해 이론적으로 찾아졌으며 외란의 진폭이 시간을 가지고 증가하거나 감소하는 방정식으로부터 결정한다. , 등의 비선형 결합, 미분 방정식, 원래 4개의 미분 방정식 그리고 모든 4개의 진폭 , , , 들은 안정도 해석에 포함되어야만 한다.

안정도와 불안정도의 동일한 영역은 원추형 진자에서 이전에 설명하였다. 유사한 경향이 관측되었을지라도 다양한 액체 운동에 대한 주파수 범위와 유사한 원추형 진자 운동들은 완전하게 동일하지 않다.
이들 운동의 안정도와 안정한 고조파 운동의 2가지 형태의 예측은 그 당시 중요한 성과였다. 그러나 불안정하고 소용돌이치는 운동은 일반적으로 더욱 어려우며 시뮬레이션은 이러한 운동을 예측하지 못한다. 명백하게 자유 표면에서 비선형 상호작용의 매우 주의 깊은 처리가 요구된다고 할 수 있다.

배영철 전남대학교 공과대학 전기공학과 교수(ycbae@chonnam.ac.kr)