식 (1)과 식 (2)는 임의의 장벽이 없는 상태에서 시스템의 동력학을 기술한다. 2차 질량에서 장벽이 있는 경우에 충격 법칙은 식 (3)과 같이 확장되어야만 한다.

여기서 e는 복원 계수이다.
장벽을 가진 충격으로 인하여 2차 질량이 비평활 동력학으로 표시하는 반면 1차 질량은 주기적 평활 속도로 표현한다. 주기 운동은 식 (4)를 포함한다.

  
Luo과 χie은 고정점에서 선형화된 포엔카레 맵을 얻었다. 주기 충격의 안정도는 포엔카레 맵의 자코비안 고윳값의 추정에 의해 식 (5)과 같이 결정된다.
 
 

만약 Dƒ(ν, 0)의 모든 고윳값이 단위 원안에 있다면 주기 해는 안정이며 그렇지 않으면 주기 해는 불안정이다. 가장 큰 계수를 가지고 Dƒ(ν,0)의 고윳값들이 단위원 안에 있을 때 분기들이 단위원 상의 그들의 위치와 수에 따라 다양한 방법들이 발생한다. 정성적인 이 결과들은 시스템 동력학에서 변화한다.
Luo과  χie은 ν가 임계값 νc를 통과함으로써 0이 아닌 속도를 가진 단위원을 교차하는 단순한 실수가 아닌 고윳값들의 단일 공액 복소 쌍의 경우를 고려했다. 의 시스템 파라미터에 대하여 Dƒ(ν, 0)의 고윳값들은 ν=0.7219에서 0.7368의 범위가 추정됐으며 단위원 안에 엄격하게 놓였음을 알았다. 또한, ν=νc=0.7368은 단위원 위의 고윳값들이 복소 공액 쌍들이 존재하고 나머지는 단위 원 내부에 존재함을 발견했다.
임계 여기 주파수 비율 νc에서 초임계 호프 분기가 발생한다. ν=0.7369에서 준주기 응답이 보고됐으며, 이에 대응하는 포엔카레 단면들이 추정됐으며 이를 그림 2(a)에 나타내었다. 이것은 단일 토러스 배증이 그림 2(b)에서 보는 것과 같이 ν=0.744에서 발생하기 시작했고, ν=0.7519와  ν=0.7555에서 그림 2(c)와 2(d)에서 보여주는 것과 같이 카오스 운동 속으로 정착된다.

Wen and Xie는 동일한 시스템이지만 파라미터는 다른 를 가지고 ν=0.745716에 대하여 안정도 문제를 고려했다.
ν=0.75에서, 이 시스템은 1500 충격 이후에 안정한 2-주기 고정점이 존재함을 확인했다. ν의 증가를 허용함으로써 이 시스템은 4-주기 점에 대응하는 호프 분기에 의해 주기 배증 종속 정지, 연속적으로 떠오르는 4개 호프 원의 4-주기 점을 가진다. ν를 더욱 증가시킴으로써 시스템은 토러스 배증 과정의 시간의 유한 수를 통하여 카오스 응답이 나타난다. 여기 주파수를 더욱 증가시키면 복소 토러스에 의해 표시되는 안정한 준-주기 충격에서 결과가 나타난다. 이 순차는 카오스 운동이 토러스 배증 준기를 통한 후에 정착된다.

그림 1(b)에서 보여주는 이 시스템은 우측 질량에서 대칭적으로 위치한 강체 정지를 가진 2자유로 시스템이며, 이는 Luo과 χie에 의해 연구됐다. 1-주기 이중 충격 대칭 운동과 이의 포엔카레 맵들이 해석적으로 유도되었다. 1-주기 이중 충격 대칭 운동으로부터 피치포크 분기와 주기 배증 분기를 거쳐 카오스에 이르는 경로들이 수치적으로 연구되었다. 그레이징과 2-주기 4중-충격 대칭 운동이 원인이 된 몇몇 비일반적인 카오스에 이르는 경로들도 연구되었다. 1-주기 이중-충격 대칭과 비대칭 운동의 호프 분기들은 양측 정지를 가진 2자유도 진동 시스템에서 존재하고 있음을 보여주고 있다. 1-주기 4-충격 대칭 운동과 같은 흥미 있는 특징들이 또한 발견됐다.   
 

H=0.1 의 파라미터 시스템에 대하여 고려했다. 그림 3은 여기 주파수의 다른 값들을 취한 위상 공간을 보여주고있다.

시스템의 주기적 운동들은 n-p-q 부호에 의해 특성화되며, 여기서 n은 강제 사이클, p, q들은 각각 제한 B와 A에서 발생하는 충격의 수이다. 여기 주파수 ν=3.716962로부터 증가시킬 때 1-1-1 대칭 운동은 이것의 안정도를 변화시키며, 그림 4(a)에서 보여주는 것과 같이 비대칭 이중 충격 궤도의 쌍이 생성하도록 피치포크 분기 1-1-1 대칭 운동은 발생한다. 1-주기 배증-충격 대칭 운동의 안정도와 국소 분기를 수치적으로 확인했다. 여기 주파수 비 ν를 더욱 감소시키면 1-1-1 비대칭 운동은 불안정하게 된다. 

그런 후 이 운동들은 주기 배증 분기로 진행하며 궁극적으로 비주기 또는 카오스 운동으로 진행한다. 2-2-2와 4-4-4 충격 운동들과 질량의 카오스 영역들은 그림 3(b)에서 3(d)를 통하여 위상 공간 형태로 각각 보여주고 있다. 이후에 Yue와 Xie는 양측의 충격 제한들을 가지는 2-자유도 진동-충격 시스템을 고려했다. 이들은 n-2 운동의 대칭 주기를 예측했다. 대칭 주기 n-2 운동은 포엔카레 맵의 대칭 고정점에 대응한다. 이것은 포엔카레 맵의 대칭 주기는 대칭 주기 n-2 운동의 주기 배증 분기, 호프 플립 분기와 피치포크 플립 분기의 억압을 보여준다. Yue와 χie는 2개의 비대칭 주기 n-2 운동 모두가 동일한 안정도를 가지고 있음을 검증했다.

충격을 형성하는 기계들의 설계 과정에서 이것은 원하는 주기적 충격 속도를 달성하는 것은 중요하다. 충격 구성 시스템의 상대적 충격 속도에 대한 전역 분기와 여기 주파수는 안정한 1주기-충격 응답이 발생하는 것과 최대-충격 속도를 예측하는 것, 그리고 이와 같은 응답이 더욱 짧은 충격 주파수인 여기 주파수 범위를 선택할 수 있다.
충격 형성 기계의 동력학들은 Luo가 집중 2자유도 시스템에 의해 해석적으로 모델링했다. 특별한 관심은 n-주기 단일 충격 운동의 안정도 비공진과 약한 공진의 경우에서 호프 분기, 1:4의 강한 공진에서 서브하모닉과 호프 분기, 공차원 2분기와 카오스 운동에서의 안정도가 주어졌다. 1-주기 충격 운동의 안정도와 국소 분기들은 포엔카레 맵을 이용함으로써 분석됐다. 국소 분기 해석과 수치적 시뮬레이션은 제어 파라미터의 변화를 가지고 1주기 단일 충격 운동에서 주기 배증 분기 또는 호프 분기로 진행하는 것을 보여주었다. 1주기 단일 충격 운동은 서브하모닉 또는 1:4 강한 공진의 경우에서 호프 분기로 진행한다.

그레이징 안정도는 강한 공진의 경우에서 발견됨을 알았다. 또한, 주기 운동 충격의 그레이징 경계에서 운동 주기에서의 새로운 충격이 나타남을 알았다. Luo 등은 2자유도 플라스틱 충격 발진기의 충격 순간에서 정의한 동적 변수들을 가진 3차원 맵을 소개했다.

시스템의 구분 현상은 충격 이후에 즉각적으로 2질량의 자유 비행과 달라붙는 운동의 천이가 원인이 되며 맵의 특이성은 2개 질량의 그레이징 접촉과 주기 운동에 대응하는 불안정성을 통하여 생성된다. 맵의 이러한 특성들은 파라미터 변화 아래서 주기-충격 운동들의 슬라이딩과 그레이징 분기의 특별한 형태를 나타냄을 보여준다.
Wagg과 Bishop은 운동을 제한하는 한계를 가지고 2자유도 충격 발진기의 동력학을 고려했다. 그레이징 분기로 인하여 발생하는 이러한 특별한 현상과 충격 운동의 다른 영역 사이에서 발생하는 분기들은 파라미터들의 특별한 집합에서 관측됐다. 주기 운동, 카오스 채터 운동들 모두와 달라붙은 영역들이 존재함을 알았다.
이중 장벽을 가진 2자유도 발진기의 달라붙는 해에서 발생하는 소위 ‘상승 현상’이라 불리는 것은 Wagg에 의해 고려되었다. 이는 그림 1(c)에서 보여주고 있으며 운동 방정식은 식 (6)과 식 (7)과 같이 나타낸다.

여기서 x1, x2는 각각 질량 m1=m, m2=m의 변위들이다. 스프링 강성은 k1=k2=k이며 제동 계수들은 c1=c2=c이다. A1과 A2는 2개 질량의 여기 진폭이며, Ω는 여기 주파수이다.
장벽들은 정적 평형점으로부터 거리 h1, h2에 위치한다. 식 (6)과 식 (7)은 모든 hi>0, hi<0의 자유 비행에 대하여 식 (8)과 같은 조건을 가진다.
 
 

  여기 진폭 A1=0.5, A2=0.0의 시스템 파라미터에 대해 Wagg는 수치 시뮬레이션을 수행했다. 여기서 Ω=0.255는 그림 4(a), 그림 4(b)에서 보여주는 것과 같은 결과를 얻었고, Ω=0.26은 그림 4(e), 그림 4(f)와 같은 결과를 얻었다. 이것은 질량이 멀어지거나 상승하는 것이 달라붙는 위상을 통하여 멀어짐을 보여주고 있다. 그런 후 질량은 채터 순차를 가지며 다시 정지하면서 달라붙는다. 여기 주파수 Ω=0.26이 증가함으로써 진폭 상승은 성장하며 달라붙은 위상의 두 번째 부분은 오직 단일 충격이 남아있을 때까지 감소한다. Toulemonde과 Gontier 는 달라붙은 지역에서 갑자기 떨어지는 것은 상승이 발생하는 하나의 식별 방법임을 알았다.

액체 흐름하에서 구형 진자

압력을 받은 물 반응기에서 봉 요소의 흐름-유도 발진기들은 제한을 가지고 상호작용할 수 있다. 이 요소들의 평면 충격 발진은 Hennig과 Grunwald에 의해 해석적 실험적으로 연구됐다. 이 처리는 물 흐름 비율상의 진자 요소의 의존성으로 다루어졌다. 저속 경사 탄성 충격은 열교환기와 파이프 또는 튜브를 약하게 지지하는 다른 장비에서 자주 발생한다. 덧붙여 평면 또는 분극화된 충격 발진, 채널 벽 부근을 슬라이딩하는 선회 공간 충격 운동과 거의 비충격 진자는 공존할 수 있음을 알았다. 
 Paidoussis 등은 캔틸레버 파이프 수송 유체, 운동-한계 비선형 제한들을 가진 상호작용은 카오스 영역을 나타냄을 실험적으로 검증했다. 이들 해석에서 이것은 유연한 파이프 시스템의 평면 동력학은 파라미터 공간에서 카오스 발진임을 보여준다.
Osakue와 Rogers는 충격 동안에 마찰을 연구하기 위한 진자형 충격 장치를 개발했다. 진자의 끝에서 강성을 가진 강체 구형은 접근 속도와 각도의 범위에 대하여 평면 강체 표면과 충돌한다. 정상과 접선 접촉력 파형들은 3각축 압전력 트랜스듀서를 이용하여 측정된다. 이 결과들은 접선력이 낮은 충격 각도에서 Amontons·Coulomb 마찰 예측보다 작다는 것을 보여준다. 막대기-슬립과 글로스 슬립 마찰의 2영역은 특별한 견인 비율로 불리는 새로운 마찰력에 의해 명확하게 구분된다. 접선력 역전은 국부 접선 발진기를 나타내는 낮은 충격 각도에 의해 관측된다. 막대기-슬립 결과들은 접촉력 영역이 링 영역이 슬립으로 진행함에 의해 주변으로 만들어진 중앙의 달라붙는 영역을 가지는 부분 슬립 모델과 일치함을 보여줬다. 여기서는 그림 5에서 보여주는 것과 같은 θ, ø의 2개의 각도 운동에서 구형 진자의 흐름 유도 충격 발진을 설명한다. 이 시스템의 운동 방정식은 식 (9)와 식 (10)과 같이 표시된다.

는 현수의 길이, l0는 전체 진자의 길이, ρ는 진자의 밀도, ρf는 유체의 밀도, cM은 유체의 가상 질량 계수이다. 진자의 제한된 운동의 관점에서 각도 ø는 매우 작으며, 식 (9)와 식 (10)은 식 (11)과 식 (12)의 형태에서 ø에 대응하여 선형화될 수 있다. 
 
  

여기서 ′은 비차원 파라미터 τ=ωnt에 대응하는 미분을 나타낸다. Peterka는 유체 유압력 효과, 유체와 구조로 인한 제동력의 효과를 소개했다. 운동의 결과 방정식들은 식 (13)과 식 (14)와 같다.

식 (14)는 ø=0일 때 특이점을 포함한다. 충격의 순간에서 진자 속도의 갑작스런 변경을 함께 가진 특이성 관점에서 Peterka는 정학한 수치 시뮬레이션을 위하여 특수 알고리즘을 사용했다. 점성 유압 동력학 힘 계수 cN 상의 진자 발생 자기 발진에서 임계적 액체 흐름 속도의 의존성은 액체 가상 질량 계수 cM의 다른 값들에 대하여 그림 6에서 보여준다.
반경 R의 원형 장벽의 존재하에서 식 (13)과 식 (14)는 각각 식 (15)와 같이 충격 법칙과 차단 계수를 가지고 확대되어야만 한다.

여기서 e는 충격 정규 부분의 반복 계수이며, B는 충격 속도의 원주부의 차단 계수로서 알려져 있다. 식 (15)에 관계되는 식 (13)과 식 (14)의 수치 시뮬레이션은 회전체 운동의 초기 조건을 다루지 않는 주기적으로 안정화된 충격을 가진 진자의 자기 여기 발진을 나타내고 있음을 알았다. 그림 7(a)는 실선 곡선에 의해 안정화된 운동의 궤적을 보여준다.
B의 낮은 값에 대하여 Δθ와 ø'_는 그들의 낮은 값들에 도달하고 회전 운동은 채널 벽 부근의 진자 슬라이딩에 접근하고 있음을 보여주고 있다. B가 증가함으로써 Δθ와 ø'_ 모두는 B가 임계값 Bc에 도달할 때까지 증가한다. 임계값 Bc는 회전자기-여기 발진이 채널 벽의 반대 측에 대하여 진자의 강한 충격을 가진 채널 직경 Δθ=180°에 따라 위험한 편광된 발진 속으로 들어간다. 
기울기 충격을 경험하는 빔의 이중 평면 진동은 세로축 빔에서 교차하는 2개의 수직 평면에서 기술됐다. 경사 충격의 3가지 형태가 가정되었다. 이들은 1) 평면 정지상의 충격, 2) 빔 축에 대응하여 동심원으로 위치한 원형 구멍에서의 충격, 3) 번들에서 이웃하는 빔 사이의 충격이다. 충격 질량 접촉 표면에서의 정규 방향에서 속도 성분은 복원 계수 방법에 따라 변화된다. 속도의 접선 성분은 건식 마찰 계수, 입사각, 반복 계수에 의존하는 차단 계수를 이용하여 변화시킬 수 있다.

다자유도 시스템

제한이 존재하는 3자유도와 다자유도 시스템의 해석은 1자유도와 2자유도 시스템보다 더 많은 것을 포함하며 많은 연구가 시도되었다.
Gontier와 Toulemonde는 연속 기법을 채택했으며 다중 충격 주기 응답들의 동력학들이 서브하모닉 분기 패턴의 연속에서 명백하게 밝혔다. 카오스 운동의 영역과 공존 어트렉터들이 식별되었다.
Natsiavas는 충돌 성분들을 포함하는 강한 비선형 다자유도 발진기의 분류에 대한 정확한 정상 상태 응답을 결정했다. 이 발진기들은 자유도 임의의 수의 형태, 배열, 기하학적 비선형성을 가진 성분의 조합에서 대표적이다. 이 분석은 고조파의 위치를 정의했고 응답 사이클당 비선형 요소 파라미터들의 급격한 변화의 하나에 의해 특성된다. 탄성 정지를 가진 진동 흡수기의 성능 또한 고려했다. 더욱이 발진을 나타내는 예는 2:1과 3:1 내부 공진 조건들을 다루었다. 응답 특성들이 연속 비선형성을 가진 시스템들과 비교됐다.

Fredriksson과 Nordmark는 운동의 비평활 비선형 운동 방정식에 의해 기술된 몇 개의 자유도를 가진 충격 발진기들의 등급을 고려했다. 오직 하나의 물체의 운동으로 인한 충격은 운동 제한기에 의해 제한된다. 시스템 속도들은 충격에서 순간적으로 변화한다는 것을 가정한다. 불연속 매핑의 정의에 의해 어떻게 포엔카레 매핑이 국소 좌표에서 확장으로써 얻을 수 있었는지를 보여주었다. 이것은 원하는 형태의 매핑을 제공하므로 표준 기법을 채택하는 것이 가능하다.  
 

Luo 등은 질량 하나의 최대 변위가 대칭 강체 정지에 의해 임계값에서 제한되는 다자유도 시스템을 고려했다. 시스템의 이중 Neimark·Sacker 분기가 맵의 중심 다양체와 정규 형태 법을 이용하여 해석됐다. 1주기 이중 충격 대칭 운동과 시스템의 외란 맵들이 해석적으로 유도되었다. 중심 다양체 이론 기법이 이중 Neimark·Sacker 분기와 연관된 정규 형태 맵과 함께 하나의 4차원 맵에서 포엔카레 맵을 줄여주기 위해 인가되었다.

대칭 정지를 가진 3자유도 시스템에서 1-주기 이중 충격 대칭 운동의 존재와 안정도들을 얻을 수 있었다. 이중 Neimark·Sacker 분기 값 부근에서 시스템은 1-주기 이중 충격 대칭 운동과 준주기 충격 운동을 가짐을 알았다. 시스템 파라미터의 변화를 가지고 준주기 충격 운동은 ‘타이어와 같은’ 토러스 배증을 통하여 카오스에 일반적으로 이르게 된다.

여기에는 모달 진동 임의의 구간 접촉 효과에 대한 에너지 평형 기법을 이용한 Wagg의 다중 모달 시스템이 고려된 부상하고 있는 현상을 포함할 수 있다. 에너지 평형은 접촉 주기 동안 모달 에너지와 복원 계수 사이의 관계를 얻기 위해 사용됐다. 이것은 충격 유도 진동의 효과를 연구하는 것을 허용한다.

결론

새로운 비선형 현상을 나타내는 자유 또는 강제 여기 하에서 진동 충격 2-자유도와 다자유도 집중 시스템의 동적 거동을 1자유도 시스템에서는 관측되지 않았다. 이 현상은 다른 차수의 강한 공진의 출현을 포함하며 소위 상승 현상은 달라붙는 해에서 발생한다. 이들 시스템의 중요한 장점은 비선형 진동 흡수자로서 이들의 이용이다. 파라메트릭 여기 하에서 습수 현상들은 오직 위상 모드 중에서 제한된다. 내부 공진의 존재는 정상 상태 해가 달성할 수 없는 시스템 거동에서보다 큰 복잡성을 추가할 수 있다.

광자 특성 비밀 풀렸다

빛을 구성하는 근본입자인 광자의 일부 거동에 대한 비밀이 공개됐다. 광자의 특성을 규명한 국제 공동연구팀의 이번 연구결과는 향후 기존 광학기기의 분해능을 향상시킬 양자측정기기 같은 정밀측정 분야에 응용될 것으로 전망된다.
포항공과대학교 물리학과 김윤호 교수 연구팀과 독일 프라이부르크 대학 이론연구진이 공동으로 수행한 이번 연구는 미래창조과학부와 한국연구재단이 추진하는 중견연구자지원사업 및 일반연구자지원사업의 지원으로 수행됐다.
정밀측정 분야에서는 주로 물체에 입사하는 빛의 간섭현상을 이용해 물체의 두께나 굴절률을 측정하는데, 특히 간섭현상이 유지되는 결맞음 시간이 측정의 정밀도에 영향을 미친다. 이에 연구팀은 거시 세계에서 알려진 빛의 특성과 미시 세계의 광자의 움직임은 다를 것이라는 가정에서 광자의 결맞음 시간 연구를 시작했다.
정밀측정 기기에 쓰이는 빛의 결맞음 시간보다 더 짧은 결맞음 시간이 존재함을 알아냈다. 이전에는 태양광이나 형광등, 레이저와 같은 빛의 결맞음 시간은 관측 조건과 무관하게 한 가지 값을 갖는다고 알려져 있었다. 결맞음 시간과 광학기기의 분해능은 반비례 관계에 있어, 이번에 알아낸 가장 짧은 결맞음 시간을 갖는 조건은 광학측정 기기 해상도 향상을 위한 원리로 응용될 것으로 전망된다.
빛의 간섭현상을 이용해 물체의 두께를 측정하는 경우, 물체의 양쪽 표면에서 각각 발생하는 간섭신호를 서로 구분해야 하는데 결맞음 시간이 긴 경우 각각 표면에서의 간섭신호가 겹쳐 구분이 어렵다. 반면 결맞음 시간이 짧으면 각각의 신호가 겹치지 않아 구분이 쉽기 때문에 보다 정밀한 측정이 가능하다는 설명이다.
김 교수는 “광자들이 보이는 결맞음 시간의 다양성을 관측함으로써 광자의 양자역학적 특성을 규명했을 뿐만 아니라 양자측정 기기 개발을 위한 필수적인 핵심원리를 제시한 것”이라고 말했다.